Thực đơn
Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ
Với một tập các cặp (thời gian, dòng tiền) tham gia trong một dự án, tỷ lệ hoàn vốn nội bộ theo sau từ giá trị hiện tại thuần như là một hàm của tỷ lệ hoàn vốn. Một tỷ lệ hoàn vốn mà làm cho hàm này bằng không là tỷ lệ hoàn vốn nội bộ.
Với các cặp (thời gian, dòng chảy tiền mặt) ( n {\displaystyle n} , C n {\displaystyle C_{n}} ) khi n {\displaystyle n} là một số nguyên dương, tổng thời gian N {\displaystyle N} , và giá trị hiện tại thuần N P V {\displaystyle \mathrm {NPV} } , tỷ lệ hoàn vốn nội bộ được đưa ra bởi r {\displaystyle r} trong:
N P V = ∑ n = 0 N C n ( 1 + r ) n {\displaystyle \mathrm {NPV} =\sum _{n=0}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{n}}}}Thời kỳ thường được đưa ra bằng năm, nhưng tính toán có thể được thực hiện đơn giản hơn nếu r {\displaystyle r} được tính bằng cách sử dụng thời gian trong đó phần lớn của vấn đề được định nghĩa (ví dụ, bằng cách sử dụng vài tháng nếu hầu hết các dòng tiền xảy ra khoảng thời gian hàng tháng) và chuyển đổi sang một giai đoạn năm sau đó.
Bất kỳ thời gian cố định có thể được sử dụng ở vị trí hiện tại (ví dụ, kết thúc một khoảng thời gian của một niên kim), giá trị thu được là không nếu và chỉ nếu NPV là không.
Trong trường hợp đó, các dòng tiền là các biến ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong trường hợp của niên kim suốt đời, các giá trị dự kiến được đưa vào công thức trên.
Thông thường, giá trị của r {\displaystyle r} không thể được tìm thấy bằng giải tích. Trong trường hợp này, phương pháp số hoặc phương pháp đồ họa phải được sử dụng.
Nếu một khoản đầu tư có thể được đưa ra bởi trình tự của dòng tiền
| Năm ( n {\displaystyle n} ) | Dòng tiền ( C n {\displaystyle C_{n}} ) |
|---|---|
| 0 | -4000 |
| 1 | 1200 |
| 2 | 1410 |
| 3 | 1875 |
| 4 | 1050 |
sau đó IRR r {\displaystyle r} được cho bởi
N P V = − 4000 + 1200 ( 1 + r ) 1 + 1410 ( 1 + r ) 2 + 1875 ( 1 + r ) 3 + 1050 ( 1 + r ) 4 = 0. {\displaystyle \mathrm {NPV} =-4000+{\frac {1200}{(1+r)^{1}}}+{\frac {1410}{(1+r)^{2}}}+{\frac {1875}{(1+r)^{3}}}+{\frac {1050}{(1+r)^{4}}}=0.}Trong trường hợp này, câu trả lời là 14,3%.
Kể từ khi ở trên là một biểu hiện của các vấn đề chung của việc tìm kiếm hàm gốc của phương trình N P V ( r ) {\displaystyle \mathrm {NPV} (r)} , có nhiều phương pháp số có thể được sử dụng để ước tính r {\displaystyle r} . Ví dụ, bằng cách sử dụng phương pháp cát tuyến, r {\displaystyle r} được cho bởi
r n + 1 = r n − N P V n ( r n − r n − 1 N P V n − N P V n − 1 ) . {\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\mathrm {NPV} _{n}\left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\mathrm {NPV} _{n}-\mathrm {NPV} _{n-1}}}\right).}ở đây r n {\displaystyle r_{n}} được coi là xấp xỉ thứ n {\displaystyle n} của IRR.
r {\displaystyle r} có thể được tìm thấy một mức độ chính xác duy nhất.
Các hành vi hội tụ của dãy số được điều chỉnh bởi những điều sau đây:Nếu chức năng N P V ( i ) {\displaystyle \mathrm {NPV} (i)} có một thực sự gốc r {\displaystyle r} , thì chuỗi sẽ hội tụ reproducibly đối với r {\displaystyle r} .
Nếu hàm N P V ( i ) {\displaystyle \mathrm {NPV} (i)} không có hàm gốc thực, thì hàm sẽ có xu hướng hướng tới + ∞.
Có r 1 > r 0 {\displaystyle \scriptstyle {r_{1}>r_{0}}} N P V 0 > 0 {\displaystyle \mathrm {NPV} _{0}>0} hoặc r 1 < r 0 {\displaystyle \scriptstyle {r_{1}<r_{0}}} khi N P V 0 < 0 {\displaystyle \mathrm {NPV} _{0}<0} có thể tăng tốc độ hội tụ của r n {\displaystyle r_{n}} r {\displaystyle r} .
Quan tâm đặc biệt là trường hợp dòng tiền thanh toán bao gồm một dòng tiền duy nhất, theo sau bởi nhiều dòng tiền vào xảy ra ở khoảng thời gian bằng nhau. Trong các ký hiệu trên, điều này tương ứng với:
C 0 < 0 , C n ≥ 0 for n ≥ 1. {\displaystyle C_{0}<0,\quad C_{n}\geq 0{\text{ for }}n\geq 1.\,}Trong trường hợp này, NPV của dòng thanh toán là một hàm tỉ lệ lãi suất lồi, suy giảm hoàn toàn. Luôn luôn có một nghiệm duy nhất cho IRR.
Với 2 ước tính r 1 {\displaystyle r_{1}} và r 2 {\displaystyle r_{2}} của IRR, phương trình phương pháp đường cát tuyến (xem ở trên) với n = 2 {\displaystyle n=2} sẽ luôn luôn tạo ra ước tính chính xác hơn r 3 {\displaystyle r_{3}} . Điều này đôi khi được gọi là phương pháp Thử và Sai. Tuy nhiên, có một công thức tính toán chính xác hơn nhiều, được đưa ra bởi:
r n + 1 = ( 1 + r n ) ( 1 + r n − 1 1 + r n ) p − 1 {\displaystyle r_{n+1}=(1+r_{n})\left({\frac {1+r_{n-1}}{1+r_{n}}}\right)^{p}-1}ở đây
p = log ( N P V n , i n / | C 0 | ) log ( N P V n , i n / N P V n − 1 , i n ) . {\displaystyle p={\frac {\log(\mathrm {NPV} _{n,in}/|C_{0}|)}{\log(\mathrm {NPV} _{n,in}/\mathrm {NPV} _{n-1,in})}}.}Trong phương trình này, N P V n , {\displaystyle \mathrm {NPV} _{n,}} N P V n − 1 {\displaystyle \mathrm {NPV} _{n-1}} tham khảo của NPV ' 'dòng chỉ "(đó là, thiết lập "C"0 = 0 và tính toán NPV). Ví dụ, bằng cách sử dụng các dòng thanh toán {-4000, 1200, 1410, 1875, 1050} và dự đoán ban đầu r 1 = 0 , 1 {\displaystyle r_{1}=0,1} r 2 = 0 , 2 {\displaystyle r_{2}=0,2} cho N P V 1 , i n = 4382 , 1 {\displaystyle \mathrm {NPV} _{1,in}=4382,1} N P V 2 , i n = 3570 , 6 {\displaystyle \mathrm {NPV} _{2,in}=3570,6} . Công thức chính xác ước tính IRR là 14,35% (sai số 0,3%) so với IRR = 14,7% (sai số 3%) từ phương pháp đường cát tuyến.
Nếu áp dụng lặp đi lặp lại, hoặc là phương pháp đường cát tuyến hoặc công thức cải tiến sẽ luôn luôn hội tụ cho các nghiệm chính xác.
Cả hai phương pháp đường cát tuyến và công thức cải tiến dựa trên dự đoán ban đầu cho IRR. Các dự đoán ban đầu sau đây có thể được sử dụng:
r 1 = ( A / | C 0 | ) 2 / ( N + 1 ) − 1 {\displaystyle r_{1}=\left(A/|C_{0}|\right)^{2/(N+1)}-1\,} r 2 = ( 1 + r 1 ) p − 1 {\displaystyle r_{2}=(1+r_{1})^{p}-1\,}ở đây
A = tong cac dong tien = C 1 + ⋯ + C N {\displaystyle A={\text{tong cac dong tien}}=C_{1}+\cdots +C_{N}\,} p = log ( A / | C 0 | ) log ( A / N P V 1 , i n ) . {\displaystyle p={\frac {\log(\mathrm {A} /|C_{0}|)}{\log(\mathrm {A} /\mathrm {NPV} _{1,in})}}.}Nếu IRR cao hơn chi phí vốn, chấp nhận dự án.
Nếu IRR thấp hơn chi phí vốn, từ chối dự án.
Thực đơn
Tỷ lệ hoàn vốn nội bộLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ